샤인미 모의고사 22번 해설

출처: 직접 돈주고 산 n제

솔직히 이 문제는 너무 복잡도가 높고 호흡도 길고 샤인미를 대표하지 않는 문제 이긴 합니다만
그래도 이런문제도 풀어보면서 배울 점이 있다는 것이 목적입니다
일단 개념영역이 평가원이 바라는 개념영역과 이 문제를 현장에서 풀기 위한 개념영역이 조금 어느 정도 미리 유도를 해봐야 하는 부분입니다. 따라서 행동영역만 다루겠습니다.

행동영역

적분함수는 피적분함수를 그려본다.
평행이동시 원래 함수를 점선으로 표현하자
포장의 기술을 해독하자
특이한 정의역을 기준으로 분류하자
변곡점 대칭성의 비율관계를 이용하자
정석적 풀이와 실전적 저의 표기방식을 나누어서 설명할 계획이고 그림이 필연적이라 글씨를 잘 써보겠습니다

풀이

사실관계 파악 이후 f(x)와 적분함수의 개형 찾기

적분함수를 h(x)라고 하겠습니다. 먼저 파악할 수 있는 사실관계는
f(0) = 0, h(a+b)=0이고
f(x) = k의 교점의 개수는 꼭짓점을 기준으로 2, 1, 0인 상수적인 구조가 됩니다.
그렇다면 정의되지 않은 상수가 많은 h(x)를 가지고 생각한다는 생각이 들 겁니다.
그리고 h(x)는 f(x)의 기본적인 개형으로부터 출발하므로 f(x)의 개형을 나누겠습니다.
f(x)의 개형을 먼저 나눈다라는 것은 피적분함수를 그려본다는 것과 같은 논리입니다.
분류할 기준은 f(x)가 서로 다른 두 실근을 갖는 것과 중근을 갖는 것인데, 왜 근을 기준으로 나누냐면 f(x)의 근은 h(x)의 극값이기 때문입니다. (사실 h(x)가 실수 전체 집합에서 증가하는 것은 극값을 가지지 않습니다. 가) 조건을 먼저 해석하고 있습니다) 
case 1  f(x)가 중근을 갖는 경우는 실수 전체 집합에서 증가하는 경우이고 이는 h(x)=k는 상수함수이기 때문에 중근이 있더라고 하더라도 논리적으로 짝수개의 근의 개수가 생길 수 밖에 없습니다.
case 2 f(x)가 서로 다른 두실근을 가지는 경우
그럼 이 경우일 수 밖에 없고 이 경우에서 다른 조건들을 사용해야 하는데 일단 f(x) = k의 근 개수가 1인 경우에(k의 값을 p라고 하면) h(x) = p 의 근개수가 2 또는 3개이고 한 근은 중근이거나 둘중 하나인데
case 2-1  h(x) = p의 근의 개수가 3개인 경우
h(x)의 극솟값을 r이라 할때 h(x) = r이 서로 다른 두 실근을 가져 만족하지 않습니다.
case 2-2 h(x) = p의 근의 개수가 2개인 경우
h(x)의 극값이 p이고 극소값이 p인 경우와 극대값이 p인 경우를 나누어야 합니다. 극대값이 p인 경우 또한 h(x) = r의 근의 개수가 2개입니다.
극솟값이 p인 경우에서 h(x) = r일때 서로 다른 세 실근을 가집니다. 그리고 극댓값을 q라 할때 h(x) = q는 두 실근을 가지고 f(x) = q는 두 실근을 가지므로 한 실근은 중근이여야 합니다.
case 2-2-1 극소점이 중근인 경우
h(x) = p에서 두 실근을 가지므로 만족하지 않습니다. 이는 비율관계를 사용해야 합니다
case 2-2-2 그냥 지나가는 점이 중근인 경우
직관적으로 만족하고 나)조건에 의해 q는 0입니다.
이때 극댓값이 0이므로 integral b~x f(x) dx와 f(x)의 비율관계를 생각해 보면 b가 음수여야 하므로 f'(0) >0임을 알 수 있습니다.
따라서 비율관계에 의한 그림은 다음과 같고 극솟값이 같다는 사실을 이용해 모든 값을 구할 수 있습니다.
필요한 그림은 다음과 같습니다

솔직하게 매우 어려운 문제이고 난이도에 비해 배울점이 크게 있는거 같지는 않습니다
그리고 샤인미 문제가 다 이런식으로 호흡이 길지 않고 오히려 호흡은 짧습니다.
그리고 현장에서라면 계속 관계에 의한 근거를 재부팅하는 것이 필요했을 거 같습니다